Το στημένο παιχνίδι

 

Caravaggio’s “The Cardsharps” (1594)

 Δυο φίλοι ο Αντώνης και ο Βασίλης,έχουν πάνω σε ένα τραπέζι  89 κάρτες.Παίζουν ένα παιχνίδι και ο νικητής,θα πάρει στο τέλος  όλες τις κάρτες.Ο κανόνας του παιχνιδιού είναι:

Ο καθένας παίρνει εναλλάξ από 1 έως 9 κάρτες.Όταν τελειώσουν οι κάρτες,μετρούν τις κάρτες που έχουν.Ο  Αντώνης κερδίζει  αν οι δυο αριθμοί που προκύπτουν είναι πρώτοι μεταξύ τους.Διαφορετικά κερδίζει ο Βασίλης.Πρώτος παίζει ο Αντώνης.

Ο Βασίλης όμως ισχυρίστηκε ότι το παιχνίδι είναι «στημενο» σε βάρος του.Έχει δίκιο; Αιτιολόγηστε.

Λύση στην επικαιροποίηση  του αρχείου των προβλημάτων του ιστολογίου  τέλος Νοέμβριου  

Η ακολουθία της παπαγαλίας

Ο Μπάμπης αγόρασε ένα ροζ παπαγάλο.Από την πρώτη μέρα διαπίστωσε ότι ο παπαγάλος είχε ένα μικρό θέμα.Κάθε μέρα έλεγε μια λέξη και στην συνέχεια κοιμόταν.

-Την πρώτη μέρα είπε «Α» και κοιμήθηκε την υπόλοιπη μέρα.  

Μάκης, Τάκης

    

   Ο Μάκης και ο Τάκης λαμβάνουν μέρος σε ένα μαραθώνιο ,με ακριβές μήκος διαδρομής 26,2 χιλιόμετρα.Ο Μάκης όλη την διάρκεια της διαδρομής διατηρεί μια σταθερή ταχύτητα  1 χιλιόμετρο  ανά 8 λεπτά, ο Τάκης δεν έχει σταθερή ταχύτητα αλλά γνωρίζουμε ότι  του παίρνει ακριβώς 8 λεπτά και 1 δευτερόλεπτο για να διανύσει κάθε διαδρομή ενός χιλιομέτρου.(Αυτό αναφέρεται σε κάθε διάστημα  διαδρομής της μορφής (α,α+1) π.χ. Από 3,64 χλμ μέχρι το 4,64 χλμ κ.ο.κ).Είναι δυνατό να τερματίσει  ο Τάκης σε καλύτερη θέση από τον Μάκη;

Τα δυο..μισά

H σημαία της ποδοσφαιρικής ομάδας Πύραυλος είναι ένα ορθογώνιο τριγωνικό πανί με διαστάσεις 3-4-5 cm .Ένα ευθύγραμμο τμήμα χωρίζει το τριγωνικό πανί σε δυο ισεμβαδικά σχήματα.Αν το ευθύγραμμο τμήμα είναι ελάχιστο,να βρεθεί το μήκος του.

Γραμμή

0 ή 1

  
 O Αντώνης και ο Βασίλης παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι .Ο Αντώνης αρχίζει γράφοντας σε ένα χαρτί το 0 ή το1.Σε κάθε κίνηση ο Αντώνης  επιλέγει να γράψει το 0 ή το 1.Από την άλλη ο Βασίλης μετά από κάθε κίνηση του Αντώνη  κάνει την δική του κίνηση, επιλέγει δυο ψηφία της ακολουθίας όποια θέλει και τα αντιμεταθέτει.Το παιχνίδι τελειώνει όταν συμπληρωθούν  1999  ψηφία. Νικητής είναι ο Βασίλης η ακολουθία είναι συμμετρική ως προς το μεσαίο (1000^ο ψηφίο) ενώ  αν δεν είναι κερδίζει ο Αντώνης. Υπάρχει στρατηγική νίκης για κάποιον από τους δυο;

Τελευταίο ψηφίο

Ο Αυτοκράτορας Μήτσος και η δικαιοσύνη!!!

  Ο Αυτοκράτορας Μήτσος κάλεσε τους 50 συμβούλους του στην μεγάλη αίθουσα του θρόνου.Κάποιοι από τους 50 σύμβουλους είναι διεφθαρμένοι και πότε λένε αλήθεια,πότε λένε ψέματα,οι υπόλοιποι είναι ευσυνείδητοι,λένε πάντα αλήθεια.

Κέρμα

Προβληματάκια

O Αλί Μπαμπά και οι 40 κλέφτες

    Ο Αλί Μπαμπά και οι 40 κλέφτες του  βρίσκονται υπό καταδίωξη από τον Σεΐχη Αλτρεισλαλουνκαιδυοχορευουν.Θέλουν να περάσουν ένα ποτάμι, γνωρίζουν ότι δεν είναι δυνατό να το διαβούν κολυμπώντας. Έχουν στην διάθεση τους μόνο μια βάρκα που για να κυβερνηθεί απαιτούνται δυο άτομα και  χωράει δυο ή τρία άτομα που πρέπει να είναι φίλοι. Ο Αλί μπαμπά σχηματίζει μαζί με τους 40 κλέφτες του μια γραμμή όπου κάθε ζεύγος διαδοχικών κλεφτών είναι φίλοι .Ο Αλί μπαμπά  είναι πρώτος στην σειρά  και κατ’ εξαίρεση είναι φίλος και με το γείτονα του γείτονα του .Με τις παραπάνω προϋποθέσεις είναι δυνατό  ο Αλί Μπαμπά και οι 40 κλέφτες του να διαβούν το ποτάμι;

Λύση στους τόμους στο σύνδεσμο :http://mathhmagic.blogspot.com/2017/09/2017-2018.html

Γεωμετρικό προβληματάκι

Λύση στους τόμους στο σύνδεσμο :http://mathhmagic.blogspot.com/2017/09/2017-2018.html

Το γεωμετρικό όργανο του Τοτού

Λύση στους τόμους στο σύνδεσμο :http://mathhmagic.blogspot.com/2017/09/2017-2018.html

Φωνήεντα και σύμφωνα

 Στο Αβγατηγανιστάν στην επαρχία Μπέικον η γλώσσα που μιλούν οι γηγενείς κάτοικοι,τα Αλαμπουρνέζικα αποτελείται από 21 φωνήεντα και 32 σύμφωνα.Ο Τοτός -διακεκριμένος γλωσσολόγος του Αβγατηγανιστάν- έχει διαπιστώσει ότι κάθε ακολουθία γραμμάτων του αλφάβητου αποτελεί λέξη της συγκεκριμένης γλώσσας, αρκεί κανένα γράμμα της ακολουθίας να μην επαναλαμβάνεται δυο φορές και  να μην παρουσιάζονται  δυο σύμφωνα συνεχόμενα. Αν διαιρέσουμε το αλφάβητο σε έξι υποσύνολα χωρίς κοινά στοιχεία μεταξύ τους, να αποδείξετε ότι τα γράμματα (στοιχεία) ενός τουλάχιστον από τα υποσύνολα αυτά μπορούν να σχηματίσουν λέξη της γλώσσας.

 Λύση στους τόμους στο σύνδεσμο :http://mathhmagic.blogspot.com/2017/09/2017-2018.html

Κοινοβούλιο και Αλαμπουρνέζικα

  

    Στο κοινοβούλιο του Αβγατηγανιστάν περισσότερο από το 90% των βουλευτών γνωρίζει Γερμανικά και Αλαμπουρνέζικα  και περισσότερο από το 90% των βουλευτών γνωρίζει  Ελληνικά και Αλαμπουρνέζικα. Να δείξετε ότι περισσότερο από το 90% των βουλευτών που γνωρίζουν Γερμανικά και Ελληνικά  γνωρίζουν και Αλαμπουρνέζικα.


 Λύση στους τόμους στο σύνδεσμο :http://mathhmagic.blogspot.com/2017/09/2017-2018.html

Μπαμπούσκα

Λύση στους τόμους στο σύνδεσμο :http://mathhmagic.blogspot.com/2017/09/2017-2018.html

Σκακιέρα

Προβληματάκι συνδυαστικής γεωμετρίας

  Σκακιέρα 8×8  καλύπτεται από 21 ορθογώνια 3×1 (ή 1x3) ,και ένα τετραγωνάκι μένει ακάλυπτο.Μπορεί αυτό το τετραγωνάκι  να είναι στην γωνία της σκακιέρας;


 Λύση στους τόμους στο σύνδεσμο :http://mathhmagic.blogspot.com/2017/09/2017-2018.html

Λογικονήσι

Προβληματάκι....

  Στο Λογικονήσι ζουν άνθρωποι που λένε πάντα αλήθεια και άνθρωποι που λένε πάντα ψέματα. Όταν ρωτήθηκαν πέντε  από αυτούς, οι οποίοι γνωρίζονταν μεταξύ τους:

 «Πόσοι από εσάς λένε την αλήθεια;»

Οι απαντήσεις που δόθηκαν ήταν 0,1,2,3,4.

Πόσοι από αυτούς είναι ψεύτες;


 Λύση στους τόμους στο σύνδεσμο :http://mathhmagic.blogspot.com/2017/09/2017-2018.html

Πόσο φτηνά θα την βγάλουμε;

Προβληματάκι βελτιστοποίησης

 Έχουμε ένα ορθογώνιο πίνακα 7x5 -με 7 γραμμές και 5 στήλες- που σε κάθε τετραγωνικό κελί του είναι γραμμένος ένας αριθμός,οι αριθμοί είναι καλυμμένοι με αυτοκόλλητα αλλά γνωρίζουμε ότι κάθε ορθογώνιο τμήμα του πίνακα με διάσταση 2x3  (οριζόντιο ή κατακόρυφο)  έχει μηδενικό άθροισμα των αριθμών στα κελιά του.Μπορούμε να ξεκολλήσουμε το αυτοκόλλητο από ένα κελί όποιο θέλουμε και να δούμε τον αριθμό αλλά πληρώνουμε ένα ευρώ.Κάθε φορά που ξεκολλάμε ένα αυτοκόλλητο θα πληρώνουμε ένα ευρώ.

 Πόσα χρήματα το λιγότερο θα πληρώσουμε για βρούμε το άθροισμα των αριθμών σε όλο τον πίνακα; 


 Λύση στους τόμους στο σύνδεσμο :http://mathhmagic.blogspot.com/2017/09/2017-2018.html

N*A*I

Λύση στους τόμους στο σύνδεσμο :http://mathhmagic.blogspot.com/2017/09/2017-2018.html

Τραπέζιο

Μέγιστο ΙΙ

Η κορνίζα ΑΒΓΔ ενός πίνακα ζωγραφικής είναι  ορθογωνίου σχήματος και συνίσταται από 8 ίσα τραπέζια .Οι  διαστάσεις ΑΒ και ΒΓ  έχουν μήκη (σε cm) θετικούς ακεραίους. Το εμβαδό κάθε τραπεζίου είναι επίσης ακέραιος και μάλιστα πρώτος αριθμός.Το εμβαδό του πίνακα είναι λιγότερο από 2000 cm².

Ποιο είναι το μέγιστο εμβαδό που έχει ο πίνακας; 


 Λύση στους τόμους στο σύνδεσμο :http://mathhmagic.blogspot.com/2017/09/2017-2018.html

ΔΖ ;;

Στο σχήμα ισχύει ΑΒ//ΓΔ ,αν ΑΕ=2 cm να βρεθεί το μήκος του ΔΖ.

Λύση στους τόμους στο σύνδεσμο :http://mathhmagic.blogspot.com/2017/09/2017-2018.html

Πιθανότητα

Σε ένα πλαίσιο 4x4 ,σε τρία διαφορετικά κελιά, τυχαία τοποθετούμε τρία κέρματα.Ποια είναι η πιθανότητα να μην υπάρχει ζεύγος κερμάτων που βρίσκονται στην ίδια γραμμή ή στην ίδια στήλη;

Προβληματάκι

 Δυο αδέρφια ,0 Γιάννης και η Μαρία για να μάθουν πρόσθεση παίζουν ένα παιχνίδι. Αρχικά, σε κάθε κελί ενός πίνακα A 3x3  έγραψαν τον αριθμό 0.

 

 

 

 

Ισχύει;

Λύση στους τόμους στο σύνδεσμο :http://mathhmagic.blogspot.com/2017/09/2017-2018.html

Προβληματάκι

 

Προβληματάκι

  Ένα είδος αριθμοσκώληκα  αναπτύσσεται με ρυθμό ένα μέτρο την ώρα.Το συγκεκριμένο είδος όταν φτάσει το μέγιστο μήκος  του ενός μέτρου σταματά να αναπτύσσεται. Ένας πλήρως αναπτυγμένος αριθμοσκώληκας μπορεί να διαιρεθεί σε δυο νέους αριθμοσκώληκες  με τυχαίο μήκος εκάστου και προφανώς άθροισμα μηκών ενός μέτρου. Αν αρχικά έχουμε ένα πλήρως αναπτυγμένο  αριθμοσκώληκα  είναι δυνατό να προκύψουν  δέκα πλήρως ανεπτυγμένοι αριθμοσκώληκες σε λιγότερο από μια ώρα;

Προβληματάκι

 

Προβληματάκι

 Να βρείτε 2018 διαδοχικούς  φυσικούς αριθμούς τέτοιους ώστε κανένας από αυτούς να μην είναι πρώτος!

Λευκό

Μπερδέματα

Παίγνια με τον κουβά

  

   Σε ένα κύκλο έχουν τοποθετηθεί ωρολογιακά  πέντε κουβάδες  χωρητικότητας δυο λίτρων.Ο Τομ και ο Τζέρυ παίζουν ένα παιχνίδι σε διαδοχικούς γύρους. Πρώτος παίζει  ο  Τζέρυ,παίρνει ένα λίτρο νερό από το διπλανό ποτάμι- με ένα δικό του δοχείο- και το μοιράζει αυθαίρετα  στους πέντε κουβάδες.Τότε ο Τομ επιλέγει δυο γειτονικούς κουβάδες  τους αδειάζει  στο ποτάμι και τους βάζει στην θέση τους.Το ίδιο γίνεται σε κάθε γύρο. Σκοπός του Τζέρυ είναι να ξεχειλίσει τουλάχιστον έναν από τους πέντε κουβάδες .Ο Τομ θέλει να το αποτρέψει.

Υπάρχει στρατηγική νίκης για κάποιον από τους δυο;



 Λύση στους τόμους στο σύνδεσμο :http://mathhmagic.blogspot.com/2017/09/2017-2018.html

Διαδοχικοί

Εσωτερικό;

Λύση στους τόμους στο σύνδεσμο :http://mathhmagic.blogspot.com/2017/09/2017-2018.html

Διαδοχικοί ΙΙ

Πρόβλημα του σωρού

Κέρματα

Σημεία

Σε μια ευθεία παίρνουμε ένα πλήθος σημείων. Θεωρούμε όλα τα ευθύγραμμα τμήματα με άκρα τα σημεία. Κάποιο από τα σημεία είναι στο εσωτερικό (δηλαδή όχι σε άκρο) σε 27 από αυτά τα ευθύγραμμα τμήματα.Κάποιο άλλο από τα σημεία είναι στο εσωτερικό σε 35 από αυτά τα ευθύγραμμα τμήματα.Πόσα είναι τα σημεία;

Η γειτονιά του Όιλερ

Μια λίστα μη πρώτων αριθμών..

Από μαθήματα προετοιμασίας μαθηματικών διαγωνισμών.

Ο καθηγητής της Ιστορίας-ερασιτέχνης μαθηματικός-ρωτάει τον Τοτό.

-«Ποτέ έγινε η Άλωση της Κωνσταντινούπολης από τους Σταυροφόρους;»

Ο Τοτός- κολοσσός στην ιστορία- απάντησε:

-«Το 1204 μ.χ, Κύριε»

-«Ποια χρονιά άρχισε ο Ελληνοιταλικός πόλεμος;»

Ο Τοτός απήντησε:«Το 1940, κύριε.»

-«Ποια είναι η διαφορά των δυο αριθμών,Τοτέ;»

Ακαριαία ο Τοτός - κολοσσός και στην αριθμητική - απάντησε «736 κύριε.»

-«Είναι πρώτος αριθμός;»

-«Όχι κύριε, είναι σύνθετος διότι είναι πολλαπλάσιο του 2.»

 Ο καθηγητής τότε γυρίζει στην τάξη και λέει:

-«Να βρείτε την μεγαλύτερη λίστα ετών από τα έτη  0,1,2,3,…,2020 τέτοια ώστε για κάθε ζεύγος ετών η διαφορά τους να μην είναι πρώτος.»

(Έτος μηδέν δεν υπήρξε,υπάρχει στο σύμπαν του προβλήματος :) :) ) 


 Λύση στους τόμους στο σύνδεσμο :http://mathhmagic.blogspot.com/2017/09/2017-2018.html

Με κανόνα και διαβήτη

Λύση στους τόμους στο σύνδεσμο :http://mathhmagic.blogspot.com/2017/09/2017-2018.html

Η διάρρηξη της πλάκας

Προβληματάκι λογικής..

  Ο διαβόητος διαρρήκτης Κλεάνθης Μπούκας θέλει να βάλει στο χέρι τα μετρητά της εταιρείας  Poca lola Α.Ε. Μια δουλειά με μεγάλη μπάζα αλλά επικίνδυνη.Γνωρίζει πολύ καλά ότι όταν βρεθεί στην μεγάλη τετραγωνική αίθουσα με το χρηματοκιβώτιο πρέπει να προσέξει. Η αίθουσα έχει τετραγωνικό δάπεδο που συνίσταται από 101x101 τετραγωνικές πλάκες διάστασης 80x80 cm.Στο κεντρική πλάκα βρίσκεται το χρηματοκιβώτιο.Σε κάθε άλλη πλάκα έχει χαραχτεί  είτε το γράμμα Ε είτε το γράμμα Σ.Ο Μπούκας μπορεί να μπει στο τετραγωνικό δάπεδο της αίθουσας  από οποία πλάκα  θέλει, κατόπιν όμως,θα πρέπει να κινηθεί ανάλογα με το γράμμα της πλάκας που πατάει.Αν βρει το γράμμα Ε αναγκαστικά πρέπει να συνεχίσει στην πλάκα που βρίσκεται στην ίδια ευθεία με αυτή που πατάει  και αυτή που ήρθε,ενώ αν βρει το Σ πρέπει να στρίψει στην πλάκα είτε  αριστερά είτε δεξιά του,όπως θέλει.Αν παραβιάσει τους προηγουμένους κανόνες ενεργοποιείται  ο συναγερμός και τον πιάνουν.
  Στην περίπτωση όμως που ο Μπούκας  καταφέρει να φτάσει στην κεντρική πλάκα τότε το χρηματοκιβώτιο είναι παιχνιδάκι και θα τσακώσει το χρήμα!! Είστε ο υπεύθυνος ασφαλείας της εταιρείας ,μπορείτε να χαράξετε όπως θέλετε τα γράμματα στις πλάκες -κελιά.

Είναι δυνατό να αποτρέψετε τον Μπούκα να φτάσει στο χρηματοκιβώτιο;


 Λύση στους τόμους στο σύνδεσμο :http://mathhmagic.blogspot.com/2017/09/2017-2018.html

Μια σειρά αριθμών

Το λαχείο

Λύση στους τόμους στο σύνδεσμο :http://mathhmagic.blogspot.com/2017/09/2017-2018.html

Πεντάγωνο

Μυρμήγκι

Γεωμετρία του παρτεριού

Έξι

2019

13

Η οργάνωση