Παγωτό

Fakebook

Κουτί

Το τουρνουά

Η σημαία της Αραχνούπολης

Αποστάσεις

Πρόβλημα με προβλήματα.....

 

Διαγωνιστικό πρόβλημα παλαιάς κοπής από την πάλαι πότε κραταιά Σοβιετική Ένωση.     

   Σε ένα μαθηματικό διαγωνισμό δόθηκαν για λύση τρία προβλήματα,τα Α,Β,Γ. Είκοσι πέντε από τους μαθητές που διαγωνίστηκαν έλυσαν τουλάχιστον ένα πρόβλημα ο καθένας .Ο αριθμός εκείνων που πήραν μέρος στην Ολυμπιάδα και δεν έλυσαν το πρόβλημα Α,έλυσαν όμως το πρόβλημα Β,ήταν διπλάσιος του αριθμού εκείνων που δεν έλυσαν το πρόβλημα Α και έλυσαν το Γ.Ο αριθμός των μαθητών  που έλυσαν μόνο το Α είναι κατά ένα μεγαλύτερος από τον αριθμό εκείνων που έλυσαν το Α και αλλά προβλήματα.Από όλους τους μαθητές  που έλυσαν μόνο ένα πρόβλημα, οι μισοί δεν έλυσαν το πρόβλημα Α. Πόσοι μαθητές έλυσαν μόνο το πρόβλημα Β;

Εκτελούνται Μεταφοραί

Πρόβλημα από Βουλγαρικό μαθηματικό διαγωνισμό (1960)   
 

  Ο Μήτσος με το φορτηγό του μετέφερε ένα φορτίο με ροδάκινα.Το βάρος του φορτίου σε κιλά ήταν ακέραιος αριθμός.Ο Μήτσος  λοιπόν παρατήρησε ότι αν διαιρεθεί το βάρος (Β) του φορτίου με το 11 τότε το πηλίκο είναι ακέραιος και  ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των ψηφίων του Β.Είναι γνωστό στην πιάτσα  ότι το φορτηγό του Μήτσου είναι μάρκα με έκαψες και δεν μπορεί να μεταφέρει φορτίο βάρους περισσότερο από ένα τόνο,επίσης δεν νοείται μεταφορά φορτίου βάρους μικρότερου από 100 κιλά.

Πόσα κιλά ροδάκινα μετέφερε ο Μήτσος με το φορτηγό του;

Προβληματάκια

 •Μια ομάδα από νεοσυλλέκτους είναι παραταγμένοι σε μια γραμμή μπροστά στο λοχία τους. Δυστυχώς είναι εντελώς ανεκπαίδευτοι.

Ταξί

• O Κλεόβουλος έχει μια εταιρεία ταξί.Τα ταξί του κυκλοφορούν στους δρόμους της Λοξολάνδης.Βέβαια,ο Κλεόβουλος πάντα ήταν ιδιαίτερος άνθρωπος διότι αναγκάστηκε να βγει από μικρός στο μεροκάματο οπότε δεν είχε την ευκαιρία να σπουδάσει.Το όνειρο  του ήταν να γίνει μαθηματικός άλλα η ζωή τον διέψευσε για αυτό λοιπόν όλοι στην Λοξολάνδη γνωρίζουν ότι τα ταξί του έχουν μια ιδιορρυθμία.

Κυλιόμενη σκάλα....

 Τρία προβλήματα,ένα παραλλαγμένο πρόβλημα του Μάρτιν Γκάρντνερ,ένα για παιδιά  Α  Λυκείου από Ρώσικο μαθηματικό διαγωνισμό και ένα ευκολότερο  για τους μικρότερους φίλους του ιστολογίου.

Καταζητείται....

    Το ηλιακό σύστημα Κ-1973 αποτελείται από 1973 πλανήτες. Οι αποστάσεις μεταξύ των πλανητών ανά δυο είναι διαφορετικές. Σε κάθε πλανήτη υπάρχει  ένα αστεροσκοπείο με πανίσχυρο τηλεσκόπιο που έχει ως αποστολή-και την υπηρετεί απαρέγκλιτα- να παρακολουθεί  κάθε τετραγωνικό μέτρο του πλησιέστερου πλανήτη. Ο Τοτός-82 είναι  φοροφυγάς και τον αναζητά η διαγαλαξιακή εφορία να πληρώσει τον ΕΝΦΙΑ. Ο λογιστής  του για να τον γλυτώσει- οι λογιστές έχουν την ίδια νοοτροπία σε κάθε μήκος και πλάτος του σύμπαντος- του σφύριξε ότι  υπάρχει ένας πλανήτης  του Κ-1973 που δεν παρακολουθείται από κανένα τηλεσκόπιο. Αληθεύει αυτό; Αιτιολογήστε.

Τα πασχαλινά αυγά του Ασημάκη

  Ο Ασημάκης είναι ζαχαροπλάστης.Η ειδικότητα του,είναι τα σοκολατένια πασχαλινά αυγά μινιατούρες.Εν όψει του Πάσχα,για να προβάλει την δουλειά του,τοποθέτησε στην βιτρίνα του ζαχαροπλαστείου μια τεράστια γυάλινη προθήκη τετραγωνικού σχήματος που αποτελούνταν από 10000 κελιά.Σε κάθε κελί τοποθέτησε ένα αυγό.Σημειώνουμε ότι σε κάθε κελί χωρά μόνο ένα αυγό.Ο Ασημάκης,τελειομανής καθώς ήταν,μόλις είδε την γυάλινη προθήκη,σε κάθε κελί ένα αυγό, αποφάσισε να κάνει κάποιες αλλαγές.Στις αλλαγές που έκανε ακολούθησε απαρέγκλιτα τους εξής κανόνες:Επέλεγε μια γραμμή όποια ήθελε και από το πρώτο κελί μέχρι το τελευταίο της γραμμής έκανε το εξής:αν έβρισκε αυγό το αφαιρούσε,αν ήταν άδειο έβαζε ένα αυγό. Ομοίως έπραττε αν επέλεγε μια στήλη.Μπορούσε να επαναλάβει την παραπάνω διαδικασία όσες φορές ήθελε.Κάθε φορά όμως σε νέα γραμμή ή στήλη,δηλαδή ποτέ δεν επενέβαινε δυο φορές ή περισσότερες στην ίδια γραμμή ή στην ίδια στήλη.Όταν τέλειωσε μετά από αρκετή ώρα παρατήρησε το αποτέλεσμα και έμεινε ικανοποιημένος.
Να αποδείξετε ότι οποιαδήποτε ακολουθία κινήσεων και αν ακολούθησε ο Ασημάκης σύμφωνα με τους παραπάνω κανόνες η προθήκη δεν θα είχε ποτέ 2014 άδεια κελιά.

Ποιος λέει αλήθεια και ποιος ψέματα;

 

   Ένα απομακρυσμένο νησί της Λοξολάνδης κατοικείται από ιππότες και από κανίβαλους.Κάθε ιππότης  λέει πάντα την αλήθεια και κάθε κανίβαλος λέει πάντα ψέματα.Κάποια μέρα μαζεύτηκε μια μεικτή παρέα από δώδεκα ιππότες και κανίβαλους.Δυο από αυτούς είπαν:«Ακριβώς δυο από εμάς τους δώδεκα είναι ψεύτες».Άλλοι τέσσερις είπαν: «Ακριβώς τέσσερις από εμάς τους δώδεκα είναι ψεύτες». Οι υπόλοιποι έξι είπαν: «Ακριβώς έξι από εμάς τους δώδεκα είναι ψεύτες».Πόσοι είναι οι ψεύτες σε αυτήν την παρέα;

                             

                                                                                           Kangaroo (Ουκρανία)

Βόλοι

Λατινικό πρόβλημα θεωρίας αριθμών

 

  Να βρεθεί εξαψήφιος αριθμός  ΑΒΓΔΕΖ  (Α,Β,Γ,Δ,Ε,Ζ  διαφορετικά μη μηδενικά αριθμητικά ψηφία) τέτοιος ώστε  όταν συμπληρωθεί ο παρακάτω κίτρινος πίνακας 6x6  στην κάθε γραμμή i να βρίσκεται ο αριθμός  i x ΑΒΓΔΕΖ  τότε να προκύπτει Λατινικό  τετράγωνο. Ο κίτρινος πίνακας είναι Λατινικό τετράγωνο αν σε κάθε γραμμή και στήλη να υπάρχουν τα ίδια έξι ψηφία  (Α,Β,Γ,Δ,Ε,Ζ) άλλα κανένα δεν επαναλαμβάνεται σε γραμμή ή στήλη.

Πόσοι τέτοιοι αριθμοί υπάρχουν;

Άμα έχεις λόγο

ΑΧ ΚΑΙ ΩΧ

;;;

Μαθη...μαγικα ημερολόγια

https://drive.google.com/file/d/1Y23BATTmcFXRK8AaT7JH5ImhkQFvkvVY/view?usp=sharing

ξ



 https://drive.google.com/file/d/1CBTLANeFJ8DXx84J1ZA2IN4DyMpB9pN5/view?usp=sharing

-1 και 1

 Ένα παλιό προβληματάκι ελαφρά παραλλαγμένο από τον καναδικό μαθηματικό διαγωνισμό Gauss:   

  Δίνεται ένας πίνακας 13 γραμμών και 9 στηλών.Σε κάθε  κελί του πίνακα μπορούμε να βάλουμε είτε το 1 είτε το -1 ,ότι θέλουμε.Υπολογίζουμε το γινόμενο κάθε γραμμής  και στην συνέχεια το γινόμενο κάθε στήλης .Είναι δυνατόν να τοποθετήσουμε τα 1,-1 έτσι ώστε, το άθροισμα  όλων των παραπάνω γινομένων  να ισούται με 0;

Το στημένο παιχνίδι

 

Caravaggio’s “The Cardsharps” (1594)

 Δυο φίλοι ο Αντώνης και ο Βασίλης,έχουν πάνω σε ένα τραπέζι  89 κάρτες.Παίζουν ένα παιχνίδι και ο νικητής,θα πάρει στο τέλος  όλες τις κάρτες.Ο κανόνας του παιχνιδιού είναι:

Ο καθένας παίρνει εναλλάξ από 1 έως 9 κάρτες.Όταν τελειώσουν οι κάρτες,μετρούν τις κάρτες που έχουν.Ο  Αντώνης κερδίζει  αν οι δυο αριθμοί που προκύπτουν είναι πρώτοι μεταξύ τους.Διαφορετικά κερδίζει ο Βασίλης.Πρώτος παίζει ο Αντώνης.

Ο Βασίλης όμως ισχυρίστηκε ότι το παιχνίδι είναι «στημενο» σε βάρος του.Έχει δίκιο; Αιτιολόγηστε.

Λύση στην επικαιροποίηση  του αρχείου των προβλημάτων του ιστολογίου  τέλος Νοέμβριου  

Η ακολουθία της παπαγαλίας

Ο Μπάμπης αγόρασε ένα ροζ παπαγάλο.Από την πρώτη μέρα διαπίστωσε ότι ο παπαγάλος είχε ένα μικρό θέμα.Κάθε μέρα έλεγε μια λέξη και στην συνέχεια κοιμόταν.

-Την πρώτη μέρα είπε «Α» και κοιμήθηκε την υπόλοιπη μέρα.  

Μάκης, Τάκης

    

   Ο Μάκης και ο Τάκης λαμβάνουν μέρος σε ένα μαραθώνιο ,με ακριβές μήκος διαδρομής 26,2 χιλιόμετρα.Ο Μάκης όλη την διάρκεια της διαδρομής διατηρεί μια σταθερή ταχύτητα  1 χιλιόμετρο  ανά 8 λεπτά, ο Τάκης δεν έχει σταθερή ταχύτητα αλλά γνωρίζουμε ότι  του παίρνει ακριβώς 8 λεπτά και 1 δευτερόλεπτο για να διανύσει κάθε διαδρομή ενός χιλιομέτρου.(Αυτό αναφέρεται σε κάθε διάστημα  διαδρομής της μορφής (α,α+1) π.χ. Από 3,64 χλμ μέχρι το 4,64 χλμ κ.ο.κ).Είναι δυνατό να τερματίσει  ο Τάκης σε καλύτερη θέση από τον Μάκη;

Τα δυο..μισά

H σημαία της ποδοσφαιρικής ομάδας Πύραυλος είναι ένα ορθογώνιο τριγωνικό πανί με διαστάσεις 3-4-5 cm .Ένα ευθύγραμμο τμήμα χωρίζει το τριγωνικό πανί σε δυο ισεμβαδικά σχήματα.Αν το ευθύγραμμο τμήμα είναι ελάχιστο,να βρεθεί το μήκος του.

Γραμμή

0 ή 1

  
 O Αντώνης και ο Βασίλης παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι .Ο Αντώνης αρχίζει γράφοντας σε ένα χαρτί το 0 ή το1.Σε κάθε κίνηση ο Αντώνης  επιλέγει να γράψει το 0 ή το 1.Από την άλλη ο Βασίλης μετά από κάθε κίνηση του Αντώνη  κάνει την δική του κίνηση, επιλέγει δυο ψηφία της ακολουθίας όποια θέλει και τα αντιμεταθέτει.Το παιχνίδι τελειώνει όταν συμπληρωθούν  1999  ψηφία. Νικητής είναι ο Βασίλης η ακολουθία είναι συμμετρική ως προς το μεσαίο (1000^ο ψηφίο) ενώ  αν δεν είναι κερδίζει ο Αντώνης. Υπάρχει στρατηγική νίκης για κάποιον από τους δυο;

Τελευταίο ψηφίο

Ο Αυτοκράτορας Μήτσος και η δικαιοσύνη!!!

  Ο Αυτοκράτορας Μήτσος κάλεσε τους 50 συμβούλους του στην μεγάλη αίθουσα του θρόνου.Κάποιοι από τους 50 σύμβουλους είναι διεφθαρμένοι και πότε λένε αλήθεια,πότε λένε ψέματα,οι υπόλοιποι είναι ευσυνείδητοι,λένε πάντα αλήθεια.

Κέρμα

Προβληματάκια

O Αλί Μπαμπά και οι 40 κλέφτες

    Ο Αλί Μπαμπά και οι 40 κλέφτες του  βρίσκονται υπό καταδίωξη από τον Σεΐχη Αλτρεισλαλουνκαιδυοχορευουν.Θέλουν να περάσουν ένα ποτάμι, γνωρίζουν ότι δεν είναι δυνατό να το διαβούν κολυμπώντας. Έχουν στην διάθεση τους μόνο μια βάρκα που για να κυβερνηθεί απαιτούνται δυο άτομα και  χωράει δυο ή τρία άτομα που πρέπει να είναι φίλοι. Ο Αλί μπαμπά σχηματίζει μαζί με τους 40 κλέφτες του μια γραμμή όπου κάθε ζεύγος διαδοχικών κλεφτών είναι φίλοι .Ο Αλί μπαμπά  είναι πρώτος στην σειρά  και κατ’ εξαίρεση είναι φίλος και με το γείτονα του γείτονα του .Με τις παραπάνω προϋποθέσεις είναι δυνατό  ο Αλί Μπαμπά και οι 40 κλέφτες του να διαβούν το ποτάμι;

Λύση στους τόμους στο σύνδεσμο :http://mathhmagic.blogspot.com/2017/09/2017-2018.html

Γεωμετρικό προβληματάκι

Λύση στους τόμους στο σύνδεσμο :http://mathhmagic.blogspot.com/2017/09/2017-2018.html

Το γεωμετρικό όργανο του Τοτού

Λύση στους τόμους στο σύνδεσμο :http://mathhmagic.blogspot.com/2017/09/2017-2018.html

Φωνήεντα και σύμφωνα

 Στο Αβγατηγανιστάν στην επαρχία Μπέικον η γλώσσα που μιλούν οι γηγενείς κάτοικοι,τα Αλαμπουρνέζικα αποτελείται από 21 φωνήεντα και 32 σύμφωνα.Ο Τοτός -διακεκριμένος γλωσσολόγος του Αβγατηγανιστάν- έχει διαπιστώσει ότι κάθε ακολουθία γραμμάτων του αλφάβητου αποτελεί λέξη της συγκεκριμένης γλώσσας, αρκεί κανένα γράμμα της ακολουθίας να μην επαναλαμβάνεται δυο φορές και  να μην παρουσιάζονται  δυο σύμφωνα συνεχόμενα. Αν διαιρέσουμε το αλφάβητο σε έξι υποσύνολα χωρίς κοινά στοιχεία μεταξύ τους, να αποδείξετε ότι τα γράμματα (στοιχεία) ενός τουλάχιστον από τα υποσύνολα αυτά μπορούν να σχηματίσουν λέξη της γλώσσας.

 Λύση στους τόμους στο σύνδεσμο :http://mathhmagic.blogspot.com/2017/09/2017-2018.html

Κοινοβούλιο και Αλαμπουρνέζικα

  

    Στο κοινοβούλιο του Αβγατηγανιστάν περισσότερο από το 90% των βουλευτών γνωρίζει Γερμανικά και Αλαμπουρνέζικα  και περισσότερο από το 90% των βουλευτών γνωρίζει  Ελληνικά και Αλαμπουρνέζικα. Να δείξετε ότι περισσότερο από το 90% των βουλευτών που γνωρίζουν Γερμανικά και Ελληνικά  γνωρίζουν και Αλαμπουρνέζικα.


 Λύση στους τόμους στο σύνδεσμο :http://mathhmagic.blogspot.com/2017/09/2017-2018.html

Μπαμπούσκα

Λύση στους τόμους στο σύνδεσμο :http://mathhmagic.blogspot.com/2017/09/2017-2018.html

Σκακιέρα

Προβληματάκι συνδυαστικής γεωμετρίας

  Σκακιέρα 8×8  καλύπτεται από 21 ορθογώνια 3×1 (ή 1x3) ,και ένα τετραγωνάκι μένει ακάλυπτο.Μπορεί αυτό το τετραγωνάκι  να είναι στην γωνία της σκακιέρας;


 Λύση στους τόμους στο σύνδεσμο :http://mathhmagic.blogspot.com/2017/09/2017-2018.html

Λογικονήσι

Προβληματάκι....

  Στο Λογικονήσι ζουν άνθρωποι που λένε πάντα αλήθεια και άνθρωποι που λένε πάντα ψέματα. Όταν ρωτήθηκαν πέντε  από αυτούς, οι οποίοι γνωρίζονταν μεταξύ τους:

 «Πόσοι από εσάς λένε την αλήθεια;»

Οι απαντήσεις που δόθηκαν ήταν 0,1,2,3,4.

Πόσοι από αυτούς είναι ψεύτες;


 Λύση στους τόμους στο σύνδεσμο :http://mathhmagic.blogspot.com/2017/09/2017-2018.html

Πόσο φτηνά θα την βγάλουμε;

Προβληματάκι βελτιστοποίησης

 Έχουμε ένα ορθογώνιο πίνακα 7x5 -με 7 γραμμές και 5 στήλες- που σε κάθε τετραγωνικό κελί του είναι γραμμένος ένας αριθμός,οι αριθμοί είναι καλυμμένοι με αυτοκόλλητα αλλά γνωρίζουμε ότι κάθε ορθογώνιο τμήμα του πίνακα με διάσταση 2x3  (οριζόντιο ή κατακόρυφο)  έχει μηδενικό άθροισμα των αριθμών στα κελιά του.Μπορούμε να ξεκολλήσουμε το αυτοκόλλητο από ένα κελί όποιο θέλουμε και να δούμε τον αριθμό αλλά πληρώνουμε ένα ευρώ.Κάθε φορά που ξεκολλάμε ένα αυτοκόλλητο θα πληρώνουμε ένα ευρώ.

 Πόσα χρήματα το λιγότερο θα πληρώσουμε για βρούμε το άθροισμα των αριθμών σε όλο τον πίνακα; 


 Λύση στους τόμους στο σύνδεσμο :http://mathhmagic.blogspot.com/2017/09/2017-2018.html

N*A*I

Λύση στους τόμους στο σύνδεσμο :http://mathhmagic.blogspot.com/2017/09/2017-2018.html

Τραπέζιο

Μέγιστο ΙΙ

Η κορνίζα ΑΒΓΔ ενός πίνακα ζωγραφικής είναι  ορθογωνίου σχήματος και συνίσταται από 8 ίσα τραπέζια .Οι  διαστάσεις ΑΒ και ΒΓ  έχουν μήκη (σε cm) θετικούς ακεραίους. Το εμβαδό κάθε τραπεζίου είναι επίσης ακέραιος και μάλιστα πρώτος αριθμός.Το εμβαδό του πίνακα είναι λιγότερο από 2000 cm².

Ποιο είναι το μέγιστο εμβαδό που έχει ο πίνακας; 


 Λύση στους τόμους στο σύνδεσμο :http://mathhmagic.blogspot.com/2017/09/2017-2018.html

ΔΖ ;;

Στο σχήμα ισχύει ΑΒ//ΓΔ ,αν ΑΕ=2 cm να βρεθεί το μήκος του ΔΖ.

Λύση στους τόμους στο σύνδεσμο :http://mathhmagic.blogspot.com/2017/09/2017-2018.html

Πιθανότητα

Σε ένα πλαίσιο 4x4 ,σε τρία διαφορετικά κελιά, τυχαία τοποθετούμε τρία κέρματα.Ποια είναι η πιθανότητα να μην υπάρχει ζεύγος κερμάτων που βρίσκονται στην ίδια γραμμή ή στην ίδια στήλη;

Προβληματάκι

 Δυο αδέρφια ,0 Γιάννης και η Μαρία για να μάθουν πρόσθεση παίζουν ένα παιχνίδι. Αρχικά, σε κάθε κελί ενός πίνακα A 3x3  έγραψαν τον αριθμό 0.

 

 

 

 

Ισχύει;

Λύση στους τόμους στο σύνδεσμο :http://mathhmagic.blogspot.com/2017/09/2017-2018.html

Προβληματάκι

 

Προβληματάκι

  Ένα είδος αριθμοσκώληκα  αναπτύσσεται με ρυθμό ένα μέτρο την ώρα.Το συγκεκριμένο είδος όταν φτάσει το μέγιστο μήκος  του ενός μέτρου σταματά να αναπτύσσεται. Ένας πλήρως αναπτυγμένος αριθμοσκώληκας μπορεί να διαιρεθεί σε δυο νέους αριθμοσκώληκες  με τυχαίο μήκος εκάστου και προφανώς άθροισμα μηκών ενός μέτρου. Αν αρχικά έχουμε ένα πλήρως αναπτυγμένο  αριθμοσκώληκα  είναι δυνατό να προκύψουν  δέκα πλήρως ανεπτυγμένοι αριθμοσκώληκες σε λιγότερο από μια ώρα;

Προβληματάκι

 

Προβληματάκι

 Να βρείτε 2018 διαδοχικούς  φυσικούς αριθμούς τέτοιους ώστε κανένας από αυτούς να μην είναι πρώτος!

Λευκό

Μπερδέματα